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一級建築士構造構造力学たわみたわみ角単純梁片持ち梁勉強法2026年

一級建築士【構造】たわみ・たわみ角の公式を図解で完全解説｜4パターン暗記法

たわみ・たわみ角は一級建築士学科【構造】の計算問題で毎年出題される必須テーマです。

公式が複数あって覚えにくいイメージがありますが、4パターンを体系的に整理すれば確実な得点源になります。

この記事では図解を使って概念・公式・試験での解き方を完全解説します。

たわみ・たわみ角とは

たわみ（δ） は荷重によって梁が垂直方向に変形する量（変位）です。

たわみ角（θ） は荷重によって梁の断面が回転した角度（傾き）です。

L（スパン） δ（たわみ） EI（曲げ剛性） θ 変形前の梁 変形後（たわみ曲線）

公式はすべて次の形になっています。

  • たわみ：δ = (係数) × PL³ / EI または δ = (係数) × wL⁴ / EI
  • たわみ角：θ = (係数) × PL² / EI または θ = (係数) × wL³ / EI

EI（曲げ剛性）が分母に来るのがポイントです。EIが大きい（材料が硬い・断面が大きい）ほどたわみは小さくなります。

公式一覧（4パターン）

梁の種類荷重条件δmax（最大たわみ）θmax（最大たわみ角）δ・θの発生位置
単純梁集中荷重P（中央）PL³ / 48EIPL² / 16EIδ：中央 / θ：両端
単純梁等分布荷重w5wL⁴ / 384EIwL³ / 24EIδ：中央 / θ：両端
片持ち梁集中荷重P（先端）PL³ / 3EIPL² / 2EIδ・θ：自由端
片持ち梁等分布荷重wwL⁴ / 8EIwL³ / 6EIδ・θ：自由端

① 単純梁・集中荷重P（スパン中央）

スパン中央に集中荷重Pが作用する最も基本的なパターンです。

L P P/2 P/2 δmax θmax θmax 📐 公式 δmax = PL³ / 48EI 中央のたわみ（最大） θmax = PL² / 16EI 両端のたわみ角（最大）

左右対称のため反力は R = P/2 です。最大たわみはスパン中央、最大たわみ角は両端で発生します。

② 単純梁・等分布荷重w

全スパンに等分布荷重wが作用するパターンです。単純梁の問題で非常によく出題されます。

L w wL/2 wL/2 δmax θmax θmax 📐 公式 δmax = 5wL⁴ / 384EI 中央のたわみ（最大） θmax = wL³ / 24EI 両端のたわみ角（最大）

等分布荷重の反力は R = wL/2 です。分子の係数 5 を忘れないように注意しましょう。

③ 片持ち梁・集中荷重P（自由端）

固定端（壁）を持つ片持ち梁の先端に集中荷重が作用するパターンです。

L P δmax θmax 固定端 自由端 δmax = PL³ / 3EI θmax = PL² / 2EI （自由端・最大たわみ） （自由端・最大たわみ角）

固定端ではたわみもたわみ角もゼロ。自由端（先端）で最大になります。

④ 片持ち梁・等分布荷重w

片持ち梁の全スパンに等分布荷重が作用するパターンです。

L w δmax θmax 固定端 自由端 δmax = wL⁴ / 8EI θmax = wL³ / 6EI （自由端・最大たわみ） （自由端・最大たわみ角）

公式の覚え方

① 分母の数字パターン

パターンδmax の分母
単純梁・集中荷重48
単純梁・等分布荷重384（= 8 × 48）
片持ち梁・集中荷重3
片持ち梁・等分布荷重8

② L の乗数（荷重の種類で決まる）

荷重の種類δ（たわみ）のLθ（たわみ角）のL
集中荷重 PL³L²
等分布荷重 wwL⁴wL³

「等分布荷重は PをwLに変えると思えば乗数が1増える」とイメージするとスッキリします。

③ 単純梁 vs 片持ち梁の比較

同じ荷重条件でのδmaxを比べると、片持ち梁は単純梁の 16倍 たわみます。

$$ \frac{PL^3/3EI}{PL^3/48EI} = \frac{48}{3} = \boldsymbol{16} \text{ 倍} $$

一端しか支えられていない片持ち梁は、両端を支えられた単純梁に比べてはるかに大きく変形します。

試験問題の解き方パターン

パターン①：公式に直接代入

設問の数値をそのまま公式に代入して解きます。最もシンプルなパターン。

例： スパンL＝6m、集中荷重P＝12kN、EI一定の単純梁（中央集中荷重）の最大たわみを求めよ。
→ δmax = PL³ / 48EI = 12 × 6³ / 48EI = 54 / EI

パターン②：比率で求める（最頻出）

「条件が変わるとたわみは何倍になるか？」という問題です。公式から比の部分だけ取り出して計算します。

スパンLが2倍になると：

  • 集中荷重のたわみ：δ ∝ L³ → 2³ = 8倍
  • 等分布荷重のたわみ：δ ∝ L⁴ → 2⁴ = 16倍

断面2次モーメントIが2倍になると：

  • δ ∝ 1/EI → 1/2倍

断面の幅bと高さhがともに2倍になると：

  • I = bh³/12 → I は 2 × 2³ = 16倍 → δ は 1/16倍

E（ヤング係数）が2倍になると：

  • δ ∝ 1/EI → 1/2倍

パターン③：重ね合わせの原理

2種類の荷重が同時に作用する場合、それぞれのたわみを個別に計算して足し合わせるだけで求められます。

例： 単純梁に中央集中荷重P＋全スパン等分布荷重wが作用する場合
δmax = PL³/48EI ＋ 5wL⁴/384EI

まとめ

チェックポイント内容
δの分母4つ48 / 384 / 3 / 8 を暗記
Lの乗数集中荷重→L³・等分布荷重→wL⁴
θの乗数集中荷重→L²・等分布荷重→wL³
発生位置単純梁は中央(δ)・両端(θ)、片持ち梁は自由端
比率問題Lが2倍→集中荷重でδは8倍・等分布で16倍
片持ち vs 単純片持ち梁は単純梁の16倍たわむ

公式4パターンを押さえて比率計算に慣れれば、たわみ問題は確実な得点源になります。

過去問を使いながら繰り返し練習して、公式を完全に定着させましょう。